3 načini reševanja sistemov algebrskih enačb, ki vsebujejo dve spremenljivki

Kazalo:

3 načini reševanja sistemov algebrskih enačb, ki vsebujejo dve spremenljivki
3 načini reševanja sistemov algebrskih enačb, ki vsebujejo dve spremenljivki

Video: 3 načini reševanja sistemov algebrskih enačb, ki vsebujejo dve spremenljivki

Video: 3 načini reševanja sistemov algebrskih enačb, ki vsebujejo dve spremenljivki
Video: ✅Простая идея. Стало гораздо удобней работать.🔨 2024, Marec
Anonim

V "sistemu enačb" se od vas zahteva, da rešite dve ali več enačb hkrati. Ko imata v sebi dve različni spremenljivki, na primer x in y ali a in b, je na prvi pogled težko določiti, kako jih rešiti. Na srečo, ko veste, kaj morate storiti, potrebujete le osnovne veščine algebre (včasih tudi nekaj znanja o ulomkih), da rešite težavo. Če ste vizualni učenec ali če to zahteva vaš učitelj, se naučite tudi grafično prikazati enačbe. Grafiranje je lahko koristno za "videti, kaj se dogaja" ali za preverjanje vašega dela, vendar je lahko počasnejše od drugih metod in ne deluje dobro za vse sisteme enačb.

Koraki

Metoda 1 od 3: Uporaba nadomestne metode

Rešite sisteme algebrskih enačb, ki vsebujejo dve spremenljivki 1. korak
Rešite sisteme algebrskih enačb, ki vsebujejo dve spremenljivki 1. korak

Korak 1. Premaknite spremenljivke na različne strani enačbe

Ta metoda "substitucije" se začne z "reševanjem za x" (ali katero koli drugo spremenljivko) v eni od enačb. Recimo, da so vaše enačbe na primer 4x + 2y = 8 in 5x + 3y = 9. Začnite tako, da pogledate samo prvo enačbo. Preuredite ga tako, da odštejete 2y na vsaki strani, da dobite: 4x = 8 - 2y.

Ta metoda kasneje pogosto uporablja ulomke. Namesto tega lahko poskusite spodnjo metodo izločanja, če vam niso všeč ulomki

Rešite sisteme algebrskih enačb, ki vsebujejo dve spremenljivki 2. korak
Rešite sisteme algebrskih enačb, ki vsebujejo dve spremenljivki 2. korak

Korak 2. Razdelite obe strani enačbe na "rešiti za x

" Ko imate na eni strani enačbe izraz x (ali katero koli spremenljivko, ki jo uporabljate), razdelite obe strani enačbe, da dobite samo spremenljivko. Na primer:

  • 4x = 8 - 2y
  • (4x)/4 = (8/4) - (2y/4)
  • x = 2 - ½y
Rešite sisteme algebrskih enačb, ki vsebujejo dve spremenljivki 3. korak
Rešite sisteme algebrskih enačb, ki vsebujejo dve spremenljivki 3. korak

Korak 3. Priključite to nazaj v drugo enačbo

Vrnite se na drugo enačbo, ne na tisto, ki ste jo že uporabili. V tej enačbi zamenjajte spremenljivko, za katero ste rešili, tako da ostane le ena spremenljivka. Na primer:

  • To veste x = 2 - ½y.
  • Vaša druga enačba, ki je še niste spremenili, je 5x + 3y = 9.
  • V drugi enačbi zamenjajte x z "2 - ½y": 5 (2 - ½y) + 3y = 9.
Rešite sisteme algebrskih enačb, ki vsebujejo dve spremenljivki 4. korak
Rešite sisteme algebrskih enačb, ki vsebujejo dve spremenljivki 4. korak

Korak 4. Rešite preostalo spremenljivko

Zdaj imate enačbo samo z eno spremenljivko. Za rešitev te spremenljivke uporabite navadne tehnike algebre. Če se spremenljivke prekličejo, pojdite na zadnji korak.

V nasprotnem primeru boste dobili odgovor za eno od spremenljivk:

  • 5 (2 - ½y) + 3y = 9
  • 10 - (5/2) y + 3y = 9
  • 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (Če tega koraka ne razumete, se naučite dodajati ulomke. To je pogosto, vendar ne vedno, potrebno za to metodo.)
  • 10 + ½y = 9
  • ½y = -1
  • y = -2
Rešite sisteme algebrskih enačb, ki vsebujejo dve spremenljivki 5. korak
Rešite sisteme algebrskih enačb, ki vsebujejo dve spremenljivki 5. korak

5. korak Z odgovorom rešite drugo spremenljivko

Ne naredite napake in pustite problem napol dokončan. Odgovor, ki ste ga dobili, boste morali vključiti v eno od prvotnih enačb, tako da lahko rešite drugo spremenljivko:

  • To veste y = -2
  • Ena izmed prvotnih enačb je 4x + 2y = 8. (Za ta korak lahko uporabite eno od enačb.)
  • Namesto y priklopite -2: 4x + 2 (-2) = 8.
  • 4x - 4 = 8
  • 4x = 12
  • x = 3
Rešite sisteme algebrskih enačb, ki vsebujejo dve spremenljivki 6. korak
Rešite sisteme algebrskih enačb, ki vsebujejo dve spremenljivki 6. korak

Korak 6. Vedite, kaj storiti, ko se obe spremenljivki prekličeta

Ko priključite x = 3y+2 ali podoben odgovor v drugo enačbo, poskušate dobiti enačbo samo z eno spremenljivko. Včasih na koncu dobite enačbo brez spremenljivk. Dvakrat preverite svoje delo in se prepričajte, da priključujete (preurejeno) enačbo eno v enačbo dve, ne samo nazaj v enačbo ena. Če ste prepričani, da niste naredili nobene napake, imate enega od naslednjih rezultatov:

  • Če na koncu dobite enačbo, ki nima spremenljivk in ni res (na primer 3 = 5), je težava ni rešitve. (Če bi narisali obe enačbi, bi videli, da sta vzporedni in se nikoli ne sekata.)
  • Če na koncu dobite enačbo brez spremenljivk, ki je resnična (na primer 3 = 3), se problem pojavi neskončne rešitve. Obe enačbi sta si popolnoma enaki. (Če bi prikazali dve enačbi, bi videli, da sta enaki.)

Metoda 2 od 3: Uporaba metode izločanja

Rešite sisteme algebrskih enačb, ki vsebujejo dve spremenljivki 7. korak
Rešite sisteme algebrskih enačb, ki vsebujejo dve spremenljivki 7. korak

Korak 1. Poiščite spremenljivko, ki prekliče

Včasih bodo enačbe že "izbrisale" spremenljivko, ko jih dodate skupaj. Na primer, ko združite enačbe 3x + 2y = 11 in 5x - 2y = 13, "+2y" in "-2y" se medsebojno prekličeta in iz enačbe odstranijo vse "y". Poglejte enačbe v svoji težavi in ugotovite, ali se bo ena od spremenljivk tako preklicala. Če nobeden od njiju ne bo, si za nasvet preberite naslednji korak.

Rešite sisteme algebrskih enačb, ki vsebujejo dve spremenljivki 8. korak
Rešite sisteme algebrskih enačb, ki vsebujejo dve spremenljivki 8. korak

Korak 2. Pomnožite eno enačbo, da se spremenljivka izbriše

(Preskočite ta korak, če spremenljivke že prekličete.) Če enačbe nimajo spremenljivke, ki se naravno izniči, spremenite eno od enačb, tako da se bodo. To je najlažje slediti z zgledom:

  • Imate sistem enačb 3x - y = 3 in - x + 2y = 4.
  • Prvo enačbo spremenimo tako, da bo y spremenljivka se prekliče. (Izberete lahko x namesto tega boste na koncu dobili enak odgovor.)
  • The - y pri prvi enačbi je treba preklicati z + 2 leta v drugi enačbi. To lahko dosežemo z množenjem - y po 2.
  • Obe strani prve enačbe pomnožite z 2, na primer: 2 (3x - y) = 2 (3), torej 6x - 2y = 6. Zdaj pa - 2 leti bo preklical z +2 leta v drugi enačbi.
Rešite sisteme algebrskih enačb, ki vsebujejo dve spremenljivki 9. korak
Rešite sisteme algebrskih enačb, ki vsebujejo dve spremenljivki 9. korak

Korak 3. Združite dve enačbi

Če želite združiti dve enačbi, leve strani seštejte skupaj, desne pa skupaj. Če enačbo nastavite pravilno, se mora ena od spremenljivk preklicati. Tukaj je primer z uporabo enačb kot zadnji korak:

  • Vaše enačbe so 6x - 2y = 6 in - x + 2y = 4.
  • Združite leve strani: 6x - 2y - x + 2y =?
  • Združite desne strani: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
Rešite sisteme algebrskih enačb, ki vsebujejo dve spremenljivki 10. korak
Rešite sisteme algebrskih enačb, ki vsebujejo dve spremenljivki 10. korak

Korak 4. Rešite za zadnjo spremenljivko

Poenostavite kombinirano enačbo in nato uporabite osnovno algebro za rešitev zadnje spremenljivke. ' Če po poenostavitvi ni spremenljivk, namesto tega pojdite na zadnji korak v tem razdelku.

V nasprotnem primeru bi morali na eno od spremenljivk dati preprost odgovor. Na primer:

  • Imaš 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
  • Združite x in y spremenljivke skupaj: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
  • Poenostavite: 5x = 10
  • Reši za x: (5x)/5 = 10/5, torej x = 2.
Rešite sisteme algebrskih enačb, ki vsebujejo dve spremenljivki 11. korak
Rešite sisteme algebrskih enačb, ki vsebujejo dve spremenljivki 11. korak

Korak 5. Rešite za drugo spremenljivko

Našli ste eno spremenljivko, vendar še niste končali. Odgovor vključite v eno od prvotnih enačb, da boste lahko rešili drugo spremenljivko. Na primer:

  • To veste x = 2, in ena od vaših prvotnih enačb je 3x - y = 3.
  • Namesto x priključite 2: 3 (2) - y = 3.
  • Rešite za y v enačbi: 6 - y = 3
  • 6 - y + y = 3 + y, torej 6 = 3 + y
  • 3 = y
Rešite sisteme algebrskih enačb, ki vsebujejo dve spremenljivki 12. korak
Rešite sisteme algebrskih enačb, ki vsebujejo dve spremenljivki 12. korak

Korak 6. Vedite, kaj storiti, ko se obe spremenljivki prekličeta

Včasih kombinacija obeh enačb povzroči enačbo, ki nima smisla, ali pa vam vsaj to ne pomaga pri reševanju problema. Dvakrat preverite svoje delo od začetka, če pa niste naredili napake, kot odgovor zapišite eno od naslednjih:

  • Če vaša združena enačba nima spremenljivk in ni res (na primer 2 = 7), obstaja ni rešitve to bo delovalo na obeh enačbah. (Če narišete obe enačbi, boste videli, da sta vzporedni in se nikoli ne križata.)
  • Če vaša združena enačba nima spremenljivk in je res (na primer 0 = 0), obstajajo neskončne rešitve. Obe enačbi sta dejansko enaki. (Če jih grafično prikažete, boste videli, da so iste črte.)

Metoda 3 od 3: Grafiranje enačb

Rešite sisteme algebrskih enačb, ki vsebujejo dve spremenljivki 13. korak
Rešite sisteme algebrskih enačb, ki vsebujejo dve spremenljivki 13. korak

Korak 1. Uporabite to metodo le, če je tako naročeno

Razen če uporabljate računalnik ali grafični kalkulator, je mogoče številne sisteme enačb rešiti le približno s to metodo. Vaš učitelj ali učbenik matematike bo morda zahteval, da uporabite to metodo, da poznate grafične enačbe kot črte. To metodo lahko uporabite tudi za dvojno preverjanje odgovorov na eni od drugih metod.

Osnovna ideja je, da obe enačbi narišemo in poiščemo točko, kjer se sekata. Vrednosti x in y na tej točki nam bosta dali vrednost x in vrednost y v sistemu enačb

Rešite sisteme algebrskih enačb, ki vsebujejo dve spremenljivki Korak 14
Rešite sisteme algebrskih enačb, ki vsebujejo dve spremenljivki Korak 14

Korak 2. Rešite obe enačbi za y

Ker enačbi ločujete, uporabite algebro, da vsako enačbo spremenite v obliko "y = _x + _". Na primer:

  • Vaša prva enačba je 2x + y = 5. Spremenite to v y = -2x + 5.
  • Vaša druga enačba je - 3x + 6y = 0. Spremenite to v 6y = 3x + 0, nato poenostavite na y = ½x + 0.
  • Če sta enačbi enaki, celotna črta bo "križišče". Pišite neskončne rešitve.
Rešite sisteme algebrskih enačb, ki vsebujejo dve spremenljivki Korak 15
Rešite sisteme algebrskih enačb, ki vsebujejo dve spremenljivki Korak 15

Korak 3. Narišite koordinatne osi

Na kos grafičnega papirja narišite navpično "os y" in vodoravno "os x". Od točke, kjer se križajo, označite številke 1, 2, 3, 4 itd., Ki se gibljejo po osi y, nato pa spet desno na osi x. Označite številke -1, -2 itd., Ki se premikajo navzdol po osi y in levo na osi x.

  • Če nimate grafičnega papirja, se z ravnilom prepričajte, da so številke natančno narazen.
  • Če uporabljate velika števila ali decimalke, boste morda morali grafikon spremeniti drugače. (Na primer 10, 20, 30 ali 0,1, 0,2, 0,3 namesto 1, 2, 3).
Rešite sisteme algebrskih enačb, ki vsebujejo dve spremenljivki Korak 16
Rešite sisteme algebrskih enačb, ki vsebujejo dve spremenljivki Korak 16

Korak 4. Narišite y-prestrezanje za vsako vrstico

Ko imate v obliki enačbo y = _x + _, lahko začnete z grafiranjem tako, da narišete piko, kjer črta prestreže os y. To bo vedno pri y-vrednosti, ki je zadnja številka v tej enačbi.

  • V naših prejšnjih primerih je ena vrstica (y = -2x + 5) prestreže os y pri

    5. korak.. Drugi (y = ½x + 0) prestreže pri 0. (To sta točki (0, 5) in (0, 0) na grafu.)

  • Če je mogoče, za dve vrstici uporabite pisala ali svinčnike različnih barv.
Rešite sisteme algebrskih enačb, ki vsebujejo dve spremenljivki Korak 17
Rešite sisteme algebrskih enačb, ki vsebujejo dve spremenljivki Korak 17

Korak 5. S pobočjem nadaljujte črte

V obliki y = _x + _, številka pred x je naklon črte. Vsakič, ko se x poveča za eno, se bo vrednost y povečala za količino naklona. S temi informacijami narišite točko na grafu za vsako vrstico, ko je x = 1. (Druga možnost je, da za vsako enačbo vstavite x = 1 in rešite za y.)

  • V našem primeru vrstica y = -2x + 5 ima naklon - 2. Pri x = 1 se črta premakne 2 navzdol od točke pri x = 0. Narišite odsek črte med (0, 5) in (1, 3).
  • Linija y = ½x + 0 ima naklon ½. Pri x = 1 se črta premakne ½ navzgor od točke pri x = 0. Odsek črte potegnite med (0, 0) in (1, ½).
  • Če imajo črte enak naklon, črte se ne bodo nikoli sekale, zato ni odgovora na sistem enačb. Pišite ni rešitve.
Rešite sisteme algebrskih enačb, ki vsebujejo dve spremenljivki Korak 18
Rešite sisteme algebrskih enačb, ki vsebujejo dve spremenljivki Korak 18

Korak 6. Nadaljujte z risanjem črt, dokler se ne križajo

Ustavite se in poglejte svoj graf. Če so črte že prečkane, pojdite na naslednji korak. V nasprotnem primeru se odločite glede na to, kaj linije počnejo:

  • Če se črte premikata druga proti drugi, nenehno narišite točke v tej smeri.
  • Če se črte oddaljujeta druga od druge, se pomaknite nazaj in narišite točke v drugo smer, začenši pri x = -1.
  • Če črte nista blizu drug drugemu, poskusite skočiti naprej in narisati bolj oddaljene točke, na primer pri x = 10.
Rešite sisteme algebrskih enačb, ki vsebujejo dve spremenljivki Korak 19
Rešite sisteme algebrskih enačb, ki vsebujejo dve spremenljivki Korak 19

Korak 7. Poiščite odgovor na križišču

Ko se dve črti križata, sta vrednosti x in y na tej točki odgovor na vašo težavo. Če imate srečo, bo odgovor celo število. Na primer, v naših primerih se dve črti sekata pri (2, 1) zato je tvoj odgovor x = 2 in y = 1. V nekaterih sistemih enačb se bodo črte sekale pri vrednosti med dvema celima številkama, in če vaš graf ni izredno natančen, bo težko reči, kje je to. Če se to zgodi, lahko napišete odgovor, na primer "x je med 1 in 2", ali uporabite metodo zamenjave ali odprave, da poiščete natančen odgovor.

Video - z uporabo te storitve se lahko nekateri podatki delijo z YouTubom

Nasveti

  • Svoje delo lahko preverite tako, da odgovore znova vključite v prvotne enačbe. Če enačbe na koncu držijo (na primer 3 = 3), je vaš odgovor pravilen.
  • Pri izločitveni metodi boste morali včasih enačbo pomnožiti z negativnim številom, če želite spremeniti spremenljivko.

Opozorila

Teh metod ni mogoče uporabiti, če je spremenljivka povišana na eksponent, na primer x2. Za več informacij o enačbah te vrste poiščite priročnik za faktoring kvadratnosti z dvema spremenljivkama.

Priporočena: